Rigorózní zkoušky z matematiky
k získání akademického titulu PhDr.


Otázky k rigorózní zkoušce – Didaktika matematiky:

1.  Matematika a didaktika matematiky jako vědní obory. Postavení didaktiky matematiky ve struktuře pedagogických disciplín, vztah k matematice, pedagogice a dalším vědám. Předmět a metody didaktiky matematiky. Vývoj didaktiky matematiky jako vědního oboru.

2.  Matematika jako komponenta kurikulárních dokumentů sekundární školy. Školská matematika ve vzdělávacích programech a Rámcových vzdělávacích programech. Didaktická analýza učiva matematiky v sekundární škole.

3.  Modernizace matematického vzdělávání. Přehled vývoje vyučování matematice na našich školách. Základní trendy vývoje – reformní školství, tzv. množinová matematika. Zahraniční náměty a zkušenosti.

4.  Základní matematické pojmy. Struktura matematických poznatků žáka sekundární školy. Definice matematického pojmu, stavba a druhy definic. Axiomy, matematické věty, důkazy matematických vět.

5.  Transmisivní a kontruktivistické přístupy k matematickému vzdělávání. Klima školní třídy a  atmosféra ve vyučování matematice. Interakce učitel – žák v pojmotvorném procesu. Didaktická transformace matematických pojmů na základní škole.

6.  Problematika motivace v matematickém vyučování na jednotlivých stupních a typech škol. Zdroje, formy a nástroje motivace (didaktická hra, projekt).

7.  Problematika kreativity v matematice. Tvořivý učitel a tvořivý žák. Rozvíjení myšlení ve vyučování matematice. Náměty úloh a prostředků k rozvoji kreativity.

8.  Komunikace v matematickém vyučování. Jazyk matematiky a jazyk školské matematiky. Terminologie a symbolika ve fylogenezi a ontogenezi. Pojem a termín.

9.  Pracovní metody a postupy ve vyučování matematice. Indukce, dedukce, analogie, experiment, heuristika, algoritmus. Didaktické zásady v matematickém vyučování. Názornost, abstrakce a generalizace.

10.  Matematické učební úlohy, jejich místo v matematickém vzdělávání na různém stupni a typu školy. Didaktické funkce, typologie, metody řešení. Práce s matematickými učebními úlohami ve výuce jako reflexe odborných a psychodidaktických kompetencí učitele.

11.  Problematika evaluace v matematice. Hodnocení vzdělávacích výsledků žáků. Diagnostický a prognostický aspekt hodnocení. Procedury získávání informací pro hodnocení. Chybný výkon žáka v matematickém vyučování, jeho analýza a interpretace.

12.  Didaktické prostředky pro vyučování matematice. Učebnice matematiky, její funkce a parametry. Didaktická vybavenost učebnic matematiky – příklady ze školské praxe. Učební pomůcky pro matematiku.

13.  Informační a komunikační technologie. Možnosti didaktického využití kalkulátoru a počítače. Multimediální prostředky, interaktivní systémy a technologie v matematickém vzdělávání.

14.  Matematické vzdělávání talentovaných a handicapovaných dětí. Péče o matematické talenty, matematické soutěže. Neprospěch v matematice. Poruchy učení a poruchy matematických schopností. Diagnostika a reedukace.

15.  Historie matematiky jako vědy. Základní periodizace historie matematiky, charakteristika jednotlivých vývojových období. Možnosti využití historie matematiky v matematickém vzdělávání.

Studijní literatura k předmětu Didaktika matematiky:

1)  Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN, 1990.
2)  Hejný, M. – Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika. Praha: Portál, 2001.
3)  Kuřina, F.: Umění vidět v matematice. Praha: SPN, 1989.
4)  Vopěnka, P.: Rozpravy s geometrií. Praha: Panorama, 1989.
5)  Kuřina, F.: Deset pohledů na geometrii. Praha: ALBRA, 1996.
6)  Zelina, M.: Tvořivost v matematice. Ostrava: KPÚ, 1990.
7)  Kalhous, Z., Obst, O.: Školní didaktika. Praha: Portál, 2002.
8)  Petty, G.: Moderní vyučování. Praha: Portál, 1996.
9)  Bruner, J. V.: Vzdělávací proces. Praha: SPN, 1965.
10)  Kopka, J.: Hrozny problémů v matematice. Ústí n. L.: 1998.
11)  Odvárko, O.: Metody řešení matematických úloh. Praha: SPN, 1990.
12)  Fulier, J., Šedivý, O.: Motivácia a tvorivosť v matematike. Nitra: UKF, 2001.
13)  Květoň, P.: Kapitoly z didaktiky matematiky 1, 2. Ostrava: 1990.
14)  Novotná, J.: Analýza řešení slovních úloh. Praka: UK, 2000.
15)  Plocki, A.: Pravděpodobnost kolem nás. Ústí n. L.: 2001.
16)  Novák, B.: Matematika III. Několik kapitol z didaktiky matematiky. Olomouc: VUP, 1999.
17)  Opava, Z.: Matematika kolem nás. Praha: Albatros, 1989.
18)  Kárová, V.: Počítání bez obav. Praha: Portál, 1996.
19)  Sedláčková, J.: Diagnostické  metody ve vyučování matematice. Olomouc: VUP, 1993.
20)  Krejčová, E. – Volfová, M.: Inspiromat matematických her. Hradec Králové: Gaudeamus, 1994.
21)  Kittler, J.: Tři cesty k porozumění matematice. Komenský, r. 117, 1992/93, č. 1
22)  Divíšek, J. a kol.: Didaktika matematiky pro studium učitelství 1. stupně ZŠ. Praha: SPN, 1989.
23)  Mikulčák, J.: Didaktika matematiky 1. Praha: SPN, 1982.
24)  Gábor, O., Kopaněv, O. Križalkovič, K. Teória vyučovania matematiky 1. Bratislava: SPN, 1989.
25)  Růžička, E., Růžičková, B.: Technologie vzdělávání. Olomouc: UP, 1998.
26)  Novák, B., Stopenová, A.: Slovní úlohy ve vyučování matematice na 1. Stupni ZŠ. Olomouc: UP, 1993.
27)  Struik, D. J.: Dějiny matematiky. Praha: Orbis, 1963
28)  Vyšín, J.: Štyry kapitoly o problémovom vyučovaní matematiky. Bratislava: SPN, 1978.


Otázky k rigorózní zkoušce – Algebra:

1.  Základní poznatky o výrocích a množinách – Výrok, složený výrok, logické spojky, výroková forma (predikát), kvantifikátory, základní typy důkazů v matematice. Množina a její určení, množinové vztahy a operace, Vennovy diagramy. 

2.  Binární relace na množině a jejich vlastnosti - Kartézský součin množin, binární relace na množině a jejich vlastnosti, relace ekvivalence, rozklad množiny, relace uspořádání, zobrazení, zobrazení prosté, zobrazení vzájemně jednoznačné.

3.  Algebraické struktury s jednou binární operací – Binární operace na množině a jejich vlastnosti, algebraické struktury s jednou binární operací – grupoid, pologrupa, grupa (konkrétní příklady). Podstruktura algebraické struktury, homomorfismus a izomorfismus struktur.

4.  Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi – okruh, obor integrity, těleso (konkrétní příklady). Podstruktura algebraické struktury, homomorfismus a izomorfismus struktur.

5.  Vektorové prostory – Vektorový prostor nad tělesem (konkrétní příklady), podprostor vektorového prostoru, lineární obal množiny, báze a dimenze vektorového prostoru, homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů, souřadnice vektoru v bázi.

6.  Matice a determinanty – Matice, základní operace s maticemi, struktura matic a její vlastnosti, hodnost matice a její určení, determinant čtvercové matice a jeho výpočet, inverzní matice a její výpočet. Užití matic a determinantů při řešení soustav lineárních rovnic – Frobeniova věta, Cramerovo pravidlo, homogenní soustava a její řešení.

7.  Dělitelnost v oboru integrity – Relace „dělí“ a její vlastnosti, jednotky, asociované prvky, vlastní a nevlastní dělitelé, ireducibilní prvky (konkrétní příklady těchto pojmů), největší společný dělitel a nejmenší společný násobek a jejich výpočet, nesoudělné prvky. Dělitelnost celých čísel – prvočísla a čísla složená, rozklad celého čísla na součin prvočísel a jeho jednoznačnost.

8.  Polynomy – Polynomy nad číselným okruhem, rovnost polynomů, součet a součin polynomů, struktura polynomů a její vlastnosti. Kořen polynomu, násobnost kořene, rozklad polynomu na součin ireducibilních polynomů.

9.  Algebraické rovnice – Algebraická rovnice, algebraická řešitelnost, rovnice 1. – 4. stupně a jejich algebraická řešitelnost, neřešitelnost rovnic vyšších stupňů (historický vývoj), binomické rovnice, reciproké rovnice. Numerické metody řešení rovnic, metoda půlení intervalu, metoda tětiv, metoda tečen.

Poznámka: Předpokládají se znalosti středoškolské (gymnaziální) matematiky.

Studijní literatura k předmětu Algebra:

1.  BLAŽEK, J. a kol. Algebra a teoretická aritmetika 1. a 2. Praha: SPN, 1983, 1985.
2.  BURRIS, S., SANKAPPANAVAR, H.P. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag, 1981.
3.  EMANOVSKÝ, P.  Algebra 2 (pro distanční studium). Olomouc: VUP, 2001.
4.  EMANOVSKÝ, P. Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). Olomouc: VUP, 1998.
5.  EMANOVSKÝ, P.  Algebra 3 (pro distanční studium). Olomouc: VUP, 2002.
6.  EMANOVSKÝ, P. Cvičení z algebry (algebraické struktury). Miniskriptum, PdF UP Olomouc, 1993.
7.  Emanovský, P. Algebraické struktury ve vysokoškolské přípravě učitelů matematiky. Olomouc : VUP, 2000.
8.  KOPECKÝ, M., EMANOVSKÝ, P. Sbírka řešených příkladů z algebry. Olomouc : VUP, 1990.
9.  KOPECKÝ, M. Základy algebry. Olomouc: VUP, 1998.
10.  KOŘÍNEK, V. Základy algebry. Praha : NČSAV, 1956.
11.  KRUTSKÝ, F. Algebra I. Olomouc : VUP, 1995. PřF UP Olomouc, 1998.
12.  MALCEV, A. I. Algebraičeskije sistemy. Moskva: Nauka. 1970.
13.  PROSKURJAKOV, I. V. Sbornik zadač po linejnoj algebre. Moskva: GIFML, 1962.
14.  Schwarz, Š. Základy náuky o riešení rovníc. Praha: NČSAV, 1958.


Okruhy otázek k rigorózní zkoušce - Geometrie:

1.  Vektorové prostory. Podprostory vektorového prostoru, lineární transformace ve vektorových prostorech, charakteristické vektory, orientace vektorového prostoru.

2.  Afinní prostory. Aritmetický a geometrický model afinního prostoru, transformace souřadnic v afinním prostoru, podprostory , jejich vzájemná poloha a jejich parametrické a neparametrické vyjádření.

3.  Afinní zobrazení. Vlastnosti, početní vyjádření, asociované zobrazení a jeho matice. Afinita prostoru Aa, obraz podprostoru. Samodružné body, charakteristická rovnice, charakteristické vektory a samodružné směry. Rovnoběžné promítání afinního prostoru do nadroviny. Základní afinita a její početní vyjádření, elace. Rozklad afinity na základní afinity, přímá a nepřímá afinita. Afinní grupa a její podgrupy.

4.  Uspořádání a jeho vlastnosti. Dělící poměr bodů. Uspořádání na přímce, poloprostor a jeho parametrické i neparametrické vyjádření. Vrstva, klín, dutý úhel. Parametrické vyjádření dutého úhlu a trojúhelníku. Konvexní množiny.

5.  Eukleidovský vektorový prostor. Skalární součin, velikost vektoru, kolmost vektorů. Ortogonální a ortonormální báze, Schmidtův ortognalizační proces, skalární součin v prostoru s ortonormální bází, ortogonální doplněk podprostoru, ortogonální projekce. Kolmost, totální kolmost podprostorů.. Normálový vektor nadroviny, přímka kolmá k nadrovině, kolmost nadrovin. Určení totálně kolmého podprostoru k danému posprostoru.

6.  Eukleidovský bodový prostor. Vzdálenost bodů, zavedení metriky, kartézská soustava souřadnic, ortonormální matice a její vlastnosti. Vzdálenost podprostorů. Kolmice na podprostor. Vzdálenost bodu od podprostoru a od nadroviny. Vzdálenost rovnoběžných a mimoběžných podprostorů.

7.  Odchylky podprostorů. Odchylka vektorů a jednorozměrných podprostorů. Definice odchylky netriviálních podprostorů, určení odchylky.  Odchylka dvou přímek, přímky a nadroviny, přímky a podprostoru, dvou nadrovin.

8.  Izometrie. Souměrnost podle nadroviny, translace, souměrnost podle středu, klasifikace shodných transformací v E1, klasifikace shodných transformací v E2 , klasifikace shodných transformací v E3.

9.  Podobné transformace. Vlastnosti, asociované zobrazení, jeho matice a vlastnosti. Grupa podobností a její podgrupy. Samodružné body a směry podobnosti, charakteristické kořeny a vektory. Stejnolehlost, početní vyjádření, vlastnosti. Mongeova věta o skládání stejnolehlostí, Mongeova grupa. Rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost. Klasifikace podobností v E1 a E2.

Studijní literatura k předmětu Geometrie:

1.  MATYÁŠEK, F. Geometrie. 1. vydání. Olomouc: UP, 1995.
2.  SEKANINA, M. a kol. Geometrie 1. Praha: SPN, 1986.
3.  HORÁK, P., JANYŠKA, J. Analytická geometrie. Brno: MU, 1997.


Otázky k rigorózní zkoušce – Matematická analýza:

1.  Rotační tělesa
Výpočet objemu rotačního tělesa pomocí Riemannova integrálu. Definice Riemannova integrálu.

2.  Rovinný obrazec
Riemannův integrál a jeho užití pro výpočet obsahu rovinného obrazce.

3.  Základní metody užívané v integrálním počtu
Zvláštní pozornost věnovat integraci racionální lomené funkce.

4.  Reálná funkce reálné proměnné
Zkoumání průběhu funkce v pravoúhlé kartézské soustavě souřadnic.

5.  Taylorův a Maclaurinův vzorec
Užití Taylorova a Maclaurinova vzorce. Taylorova a Maclaurinova řada funkcí hedné reálné proměnné. Rozvoje elementárních funkcí.

6.  Derivace funkce
Definice derivace funkce v bodě a intervalu. Geometrický a fyzikální význam. Vzorce pro derivování elementárních funkcí.

7.  Posloupnosti a řady reálných čísel
Limita posloupnosti, součet řady, aritmetická a geometrická řada.

8.  Extrémy reálné funkce jedné reálné proměnné
Metody vedoucí ke stanovení extrémů funkce jedné reálné proměnné.

9.  Definice čísla e  a pojem přirozeného logaritmu

Studijní literatura k předmětu Matematická analýza:

1.  JARNÍK, V.: Diferenciální počet I. Praha: Academia, 1984.
2.  JARNÍK, V.: Integrální počet I. Praha: Academia, 1984.
3.  ŠKRÁŠEK. J., TICHÝ, Z.: Základy aplikované matematiky I. Praha: SNTL, 1983.
4.  ŠKRÁŠEK, J., TICHÝ, Z.: Základy aplikované matematiky II. Praha: SNTL, 1986


Otázky k rigorózní zkoušce – Aritmetika a teorie čísel:

1.  Peanova axiomatika přirozeného čísla. Indukční axiom a jeho význam. Operace na množině přirozených čísel a jejich vlastnosti. Uspořádání množiny N. Znaky dělitelnosti v desítkové soustavě. Soustavy o základu z. Operace v soustavách o základu z.

2.  Prvočísla. Vlastnosti prvočísel, nekonečnost množiny prvočísel. Užití prvočísel v didaktických aplikacích. Struktury s jednoznačným rozkladem.  Fermatova a Mersenneova prvočísla.

3.  Konstrukce oboru integrity celých čísel.  Konstrukce množiny Z, struktura (Z,+), problematika izomorfního vnoření (N,+) do (Z,+), struktura (Z,.), struktura (Z,+,.) a její vlastnosti. Uspořádání oboru integrity celých čísel.

4.  Konstrukce tělesa racionálních čísel. Konstrukce podílového tělesa k oboru integrity (Z,+,.). Izomorfní vnoření (Z,.) do (Q,.). Otázky uspořádání. Zlomek a racionální číslo. Vyjádření racionálních čísel v soustavách o základu z.

5.  Kongruenční rovnice prvního stupně. Řešení kongruenčních rovnic prvního stupně pomocí Eulerovy věty. Řetězové zlomky. Řešení kongruenčních rovnic prvního stupně pomocí řetězových zlomků. Užití kongruenčních rovnic prvního stupně při řešení diofantovských rovnic.

6.  Konstrukce tělesa reálných čísel. Dedekindova teorie řezu, racionální a iracionální řezy, algebraické operace na množině řezů. Otázky spojitosti.

7.  Aproximace reálných čísel racionálními čísly. Desetinné zlomky, nekonečné rozvoje racionálních čísel, pojem aproximace. Iracionální čísla jako limity posloupností. Užití metody Monte Carlo při aproximacích iracionálních čísel. Řetězové zlomky reálných čísel a jejich vlastnosti ..

8.  Konstrukce tělesa komplexních čísel. Vlastnosti tělesa komplexních čísel, algebraický a goniometrický tvar, operace čísel v goniometrickém tvaru, Moivreova věta. Nemožnost uspořádat těleso komplexních čísel. Izomorfní vnoření tělesa (R,+,.) do (K,+,.). Grupy komplexních n-tých odmocnin.

9.  Algebraická a transcendentní čísla. Kořeny algebraických rovnic, souvislost s eukleidovskými konstrukcemi. Iracionální čísla. Liouvillova věta, transcendentní čísla.

Studijní literatura k předmětu Aritmetika a teorie čísel:

1.  BLAŽEK, J. a kol. Algebra a teoretická aritmetika 1. Praha: SPN . 1983.
2.  HARDY, G., WRIGHT, E.M. An introduction to the theory of numbers. Oxford: Gibbs´edition, 1965.
3.  LUGOWSKI, H. a kol. Einführung in die Algebra, Arithmetik und Zahlentheorie. Potsdam: Pädagogische Hochschule. 1965.
4.  KOPECKÝ, M. Aritmetika. Olomouc: Univerzita Palackého. 2002.
5.  HALAŠ, R. Teorie čísel. Olomouc: Univerzita Palackého. 1997.

 


Konference ODAM 2017
19. 05. 2017

Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Vás zve na konferenci ODAM 2017 pořádanou ve dnech 31. 5. - 2. 6. 2017 v prostorách Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci.  

Jan Wossala

Číst dál...

Přednáška "Práce s chybou v matematice"
02. 05. 2017

V rámci akce "Noc vzdělávání" proběhne dne 9. 5. 2017 přednáška Práce s chybou v matematice. Místo konání: učebna N24 Datum a čas: 9. 5. 2017 od 20:15 do 21:00 Přednášející: PhDr. Radka Dofková,...

Jan Wossala

Číst dál...

Katederní kolo SVOČ - výsledky
30. 03. 2017

Vyhlášení výsledků SVOČ 2017 Katedry matematiky PdF UP - odkaz ZDE.

Jan Wossala

Číst dál...

Volby do Akademického senátu PdF UP
27. 03. 2017

Kandidáti Katedry matematiky do Akademického senátu PdF UP a Akademického senátu UP: PhDr. Radka Dofková, Ph.D.a RNDr. Martina Uhlířová, Ph.D....

Jan Wossala

Číst dál...

Katederní SVOČ - program
24. 03. 2017

V úterý 28. března 2017 v 9:30 se bude konat KATEDERNÍ KOLO SVOČ Matematika a didaktika matematiky. Program akce je dostupný ZDE.

Jan Wossala

Číst dál...